Método de la Grange

La interpolación de Lagrange es una de las interpolaciones más útiles en integración numérica, ésta consiste en una representación de polinomios  de la función, a considerar:

Suponga que se dan N+1 puntos como:

x0	x1	… …	xn
f(x0)	f(x1)	… …	f(xn)

Donde x₀ , x₁ … son las abscisas de los puntos dados en orden creciente, los espacios entre los puntos son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a través de los N+1 puntos se puede escribir como:

y(x)=    (4.2.1)

Es decir que la función  , se expresa como una combinación lineal de las observaciones independientes de un experimento.

Los a_j(x)I, son los coeficientes de Lagrange.

Para encontrar los coeficientes, hay que establecer y resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas que resultan de cada observación, lo que finalmente da, para el polinomio de Langrage de orden N:

4.2.2

La ecuación anterior parece complicada, pero en realidad no es tan difícil, incluso la memorización.

Apliquemos esta para resolver un problema químico clásico.

Las densidades del sodio para tres temperaturas se dan en la tabla siguiente:

Observación. i	Temperatura Ti °C	Densidad pikg/m3
0	94	929
1	205	902
2	371	860

a     Escribir el polinomio de Lagrange que se ajusta a los datos experimentales y determinar la densidad para T=251°C.

Solución:

Y(T)=  

Graficando esta expresión.

Como se ve, el ajuste del polinomio a los datos experimentales corresponde a una parábola y se puede determinar ahora un valor de densidad para una temperatura no reportada.