Método de Euler

El método de Euler rara vez se utiliza en la práctica para obtener la solución aproximada de un problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivación de la fórmula y de la determinación del error. Los métodos de orden superior utilizan las mismas técnicas, pero el álgebra que requieren es mucho más complicada.

Con el método de Euler se obtiene una solución aproximada de un problema de valor inicial como el que se muestra en la ecuación (1), en un conjunto finito de puntos.

Para empezar, se determina la malla {t₀, t₁, ... , t_N} de paso h, donde t₀ = a y  t_N = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.

Para determinar la fórmula del método, se parte de un desarrollo de Taylor de la función solución y(t), alrededor de un punto de la malla, t_i, suponiendo que la función y(t) posee derivadas primera y segunda continuas en (a, b):

Evaluando esta expresión en t = t_i+1, para cualquier i, se tiene:

Pero como t_i+1- t_i = h, resulta:

Como y(t) satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(t_i) = f(t_i, y_i), entonces reemplazando en la fórmula (4) resulta:

Si se elimina de la fórmula anterior el término del error, se puede escribir:

Resultando así la fórmula del método de Euler para aproximar la solución en un punto de la malla, teniendo una aproximación en el punto inmediato anterior. Como la condición en el punto a del problema de valor inicial da el valor inicial y(t₀)= a, se tiene entonces la solución aproximada en todos los puntos de la malla. Si se llaman y_i = y(t_i), se tiene entonces la fórmula de Euler dada en la fórmula (7):