Método de Euler

El método de Euler rara vez se utiliza en la práctica para obtener la solución aproximada de un problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivación de la fórmula y de la determinación del error. Los métodos de orden superior utilizan las mismas técnicas, pero el álgebra que requieren es mucho más complicada.

Con el método de Euler se obtiene una solución aproximada de un problema de valor inicial como el que se muestra en la ecuación (1), en un conjunto finito de puntos.

Para empezar, se determina la malla {t₀, t₁, ... , t_N} de paso h, donde t₀ = a y  t_N = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.

Para determinar la fórmula del método, se parte de un desarrollo de Taylor de la función solución y(t), alrededor de un punto de la malla, t_i, suponiendo que la función y(t) posee derivadas primera y segunda continuas en (a, b):

Evaluando esta expresión en t = t_i+1, para cualquier i, se tiene:

Pero como t_i+1- t_i = h, resulta:

Como y(t) satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(t_i) = f(t_i, y_i), entonces reemplazando en la fórmula (4) resulta:

Si se elimina de la fórmula anterior el término del error, se puede escribir:

Resultando así la fórmula del método de Euler para aproximar la solución en un punto de la malla, teniendo una aproximación en el punto inmediato anterior. Como la condición en el punto a del problema de valor inicial da el valor inicial y(t₀)= a, se tiene entonces la solución aproximada en todos los puntos de la malla. Si se llaman y_i = y(t_i), se tiene entonces la fórmula de Euler dada en la fórmula (7):

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Método de Interpolación de Newton

La interpolación de Newton se aplica a procesos, cuyos intervalos de la variable independiente son  simétricos, es decir la longitud del intervalo entre cada medición es la misma. Este tipo de interpolación es muy útil cuando el experimento es diseñado y controlado por el experimentador. Como ejemplo se puede citar el caso de un químico que está llevando a cabo una reacción química, y determina la concentración del producto cada 5 minutos hasta que la reacción ha concluido. Aún cuando el químico toma las lecturas periódicamente cada 5 minutos, se puede requerir la concentración del producto digamos a los 13 minutos, dato con el que no se cuenta pues los valores más cercanos serán los de 10 y 15 minutos. Aquí es donde se puede hacer uso de la interpolación de Newton.

Para poder efectuar una interpolación de Newton se requiere introducir algunas definiciones y conceptos adicionales.

Diferencias hacia adelante

Definición:

Las diferencias hacia adelante se obtienen de tomar la diferencia de los valores de la variable dependiente, entre dos valores sucesivos de la variable independiente.

Ejemplo 4-1:

Calcule las diferencias hacia delante de la siguiente tabla que representa la concentración de un reactivo respecto al tiempo en una reacción química.

Tiempo en segundos	0	5	10	15	20	25
Concentración moles/litro	234	212	203	198	180	173

Tabla 6-0

Las diferencias hacia adelante son:

Observación	t (tiempo)	C(concentración)	𝛥C1	𝛥C2	𝛥C3	𝛥C4
1	0	234
			212-234=-22
2	5	212		-9+22=13
			203-212=-9		4-13=-9
3	10	203		-5+9=4		-8
			198-203=-5		-13-4=-17
4	15	198		-18+5=-13		41
			180-198=-18		11+13=24
5	20	180		-7+18=11
			173-180=-7
6	25	173

Tabla 6-1

Las cuales representan las diferencias hacia adelante.

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Método de la Grange

La interpolación de Lagrange es una de las interpolaciones más útiles en integración numérica, ésta consiste en una representación de polinomios  de la función, a considerar:

Suponga que se dan N+1 puntos como:

x0	x1	… …	xn
f(x0)	f(x1)	… …	f(xn)

Donde x₀ , x₁ … son las abscisas de los puntos dados en orden creciente, los espacios entre los puntos son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a través de los N+1 puntos se puede escribir como:

y(x)=    (4.2.1)

Es decir que la función  , se expresa como una combinación lineal de las observaciones independientes de un experimento.

Los a_j(x)I, son los coeficientes de Lagrange.

Para encontrar los coeficientes, hay que establecer y resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas que resultan de cada observación, lo que finalmente da, para el polinomio de Langrage de orden N:

4.2.2

La ecuación anterior parece complicada, pero en realidad no es tan difícil, incluso la memorización.

Apliquemos esta para resolver un problema químico clásico.

Las densidades del sodio para tres temperaturas se dan en la tabla siguiente:

Observación. i	Temperatura Ti °C	Densidad pikg/m3
0	94	929
1	205	902
2	371	860

a     Escribir el polinomio de Lagrange que se ajusta a los datos experimentales y determinar la densidad para T=251°C.

Solución:

Y(T)=  

Graficando esta expresión.

Como se ve, el ajuste del polinomio a los datos experimentales corresponde a una parábola y se puede determinar ahora un valor de densidad para una temperatura no reportada.

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